Détermination de la résistance à la fatigue #3

Cet article présente de manière synthétique le principe de détermination de la résistance à la fatigue d’un détail constructif soumis aux cycles de chargement d’amplitude variable.

Cycles de chargement d’amplitude variable

Il est possible d’exprimer les endurances (nombres de cycles jusqu’à la ruine) N_R, correspondant à une étendue de contrainte appliquée Δσ, pour chacune des parties distinctes des trois types de courbe de résistance à la fatigue de la norme NF EN 1993-1-9.

Note 1 : la détermination de l’étendue de contrainte maximale pour un nombre de cycles connu n’a pas beaucoup d’utilité pratique dans le cas de cycles d’étendues de contrainte variables.

Note 2 : les courbes de résistance à la fatigue sont présentées dans la 1^re partie de cet article.

Note 3 : la détermination de la résistance à la fatigue pour des cycles de chargement d’amplitude constante fait l’objet de la 2^e partie de cet article.

Nombre de cycles maximal pour une étendue de contrainte connue

Si une étendue de contrainte appliquée Δσ est connue, l’endurance (nombre de cycles jusqu’à la ruine) N_R est donnée par les expressions suivantes :

• Pour les courbes de Type a) :

N_R = 2×10⁶ (Δσ_C / Δσ)³,                               pour                                                                  Δσ ≥ Δσ_D

N_R = 5×10⁶ (Δσ_D / Δσ)⁵,                               pour                                                                  Δσ_D ≥ Δσ ≥ Δσ_L

N_R = ∞,                                                                  sinon ;

• Pour les courbes de Type b) :

N_R = 2×10⁶ (Δσ_C / Δσ)⁵,                               pour                                                                  Δσ ≥ Δσ_D = Δσ_L

N_R = ∞,                                                                  sinon ;

• Pour les courbes de Type c) :

N_R = 2×10⁶ (Δσ_C / Δσ)³,                               pour                                                                  Δσ ≥ Δσ_D

N_R = 5×10⁶ (Δσ_D / Δσ)⁵,                               pour                                                                  Δσ_D ≥ Δσ ≥ Δσ_L

N_R = ∞,                                                       sinon.

Dans ces formules :

• Δσ_C est la catégorie de détail, à savoir la résistance à la fatigue à 2 millions de cycles ;
• Δσ_D est la limite de fatigue à amplitude constante :
• Pour les courbes de Type a) : Δσ_D = Δσ_C (2 / 5)^1/3 = 0,737 Δσ_C
• Pour les courbes de Type b) : Δσ_D = Δσ_C (2 / 100)^1/5 = 0,457 Δσ_C
• Pour les courbes de Type c) : Δσ_D = Δσ_C (2 / 10)^1/3 = 0,585 Δσ_C
• Δσ_L est la limite de troncature :
• Pour les courbes de Type a) : Δσ_L = Δσ_D (5 / 100)^1/5 = 0,405 Δσ_C
• Pour les courbes de Type b) : Δσ_L = Δσ_D = 0,457 Δσ_C
• Pour les courbes de Type c) : Δσ_L = Δσ_D (10 / 100)^1/5 = 0,369 Δσ_C

Application numérique

Comme dans la 2^e partie de cet article, on prend l’exemple d’une catégorie de détail de 90 MPa associée à une courbe de Type a). Les étendues de contrainte désignant son tracé sont alors :

• Catégorie de détail (résistance à la fatigue à 2 millions cycles) :

Δσ_C = 90 MPa,

• Limite de fatigue à amplitude constante (résistance à la fatigue à 5 millions cycles) :

Δσ_D = (2 / 5)^1/3 × 90 MPa = 66,31 MPa,

• Limite de troncature (résistance à la fatigue à 100 millions cycles) :

Δσ_L = (5 / 100)^1/5 × 66,31 MPa = 36,42 MPa,

Si l’on imagine que trois actions cycliques, chacune avec une étendue de contrainte constante, sont présentes dans la durée de vie du détail constructif analysé, il est possible de déterminer l’endurance pour chacune des trois étendues de contrainte données : on peut utiliser les formules appropriées, parmi celles présentées ci-dessus.

À titre d’exemple, les trois actions ont les étendues de contrainte suivantes :

• Δσ₁ = 120 MPa,
• Δσ₂ = 50 MPa
• Δσ₃ = 30 MPa

L’endurance (nombre maximal de cycles) est alors calculée pour chacune de ces actions comme suit :

• Pour l’étendue de contrainte Δσ₁ = 120 MPa :

N_R1 = 2×10⁶ (Δσ_C / Δσ₁)³ = 843 750 cycles,

car Δσ₁ > Δσ_D = 66,31 MPa.

Note : cette étendue de contrainte, la plus élevée, tombe sur la première portion de la courbe, de pente m = 3. De ce fait, elle est supérieure à la limite de fatigue à amplitude constante Δσ_D et il est nécessaire de retracer la courbe expérimentale de résistance à la fatigue, en ajoutant au-dessous de la limite de fatigue à amplitude constante, une partie de la courbe de pente m = 5. Cela quantifie la contribution à l’endommagement des actions dont les étendues de contrainte sont inférieures à cette limite.

• Pour l’étendue de contrainte Δσ₂ = 50 MPa :

N_R2 = 5×10⁶ (Δσ_D / Δσ)³ = 20 512 336 cycles,

car : Δσ_D = 66,31 MPa > Δσ₂ > Δσ_L = 36,42 MPa.

Note : cette étendue de contrainte tombe sur la deuxième portion de la courbe, de pente m = 5, au-dessous de la limite de fatigue à amplitude constante Δσ_D, mais au-dessus de la limite de troncature Δσ_L. Sans existence simultanée de l’étendue de contrainte Δσ₁ qui est supérieure à la limite de fatigue à amplitude constante, et qui de ce fait provoque un endommagement initial, cette étendue de contrainte n’aurait pas été préjudiciable (voir la 2^ème partie de cet article).

• Pour l’étendue de contrainte Δσ₃ = 30 MPa :

N_R3 = ∞,

car Δσ_L = 36,42 MPa > Δσ₃.

Note : quel que soit le nombre de cycles associés à cette action, aucun endommagement par fatigue ne se produit, car l’étendue de contrainte est au-dessous de la limite de troncature Δσ_L et ne contribue pas à l’endommagement.

Ces trois actions sont représentées à la Figure 1.

Note : les calculs montrés ici sont des résultats intermédiaires pour effectuer la vérification à la fatigue sous cycles de chargements d’amplitude variable. Effectivement, les résultats obtenus s’interprètent de la manière suivante :

• L’endurance de 843 750 cycles n’est valable que pour une étendue de contrainte Δσ₁ = 120 MPa : il n’est pas possible d’y rajouter des cycles d’une autre étendue de contrainte ;
• L’endurance de 20 512 336 cycles n’est valable que pour une étendue de contrainte Δσ₂ = 50 MPa : il n’est pas possible d’y rajouter des cycles d’une autre étendue de contrainte ;
• L’étendue de contrainte Δσ₃ = 30 MPa ne provoque pas d’endommagement : il est donc possible de cumuler des cycles de Δσ₃ avec des cycles d’une autre étendue de contrainte.

La vérification à la fatigue sous cycles de chargements d’amplitude variable fera l’objet de publications ultérieures.

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Mladen Lukić , chef de projet de recherche, CTICM