Tout savoir sur
la construction métallique
L’analyse globale d’une poutre hyperstatique peut être une étape fastidieuse, notamment lorsque le concepteur cherche à déterminer les sollicitations enveloppes pour plusieurs cas de charges. L’outil logiciel est souvent privilégié à cette étape, mais il est aussi utile de connaître certaines méthodes manuelles qui permettent de vérifier les résultats ou d’estimer un ordre de grandeur.
La présente fiche explique comment utiliser les lignes d’influence pour réduire au maximum les cas de calculs, dans le cas simple d’une poutre sur trois appuis, soumise à une charge mobile ponctuelle.
Le calcul des sollicitations dans une poutre à plusieurs appuis peut être effectué grâce à la formule des trois moments ou par la méthode des foyers. Ces deux approches permettent également de définir la ligne d’influence d’une sollicitation par rapport à une section fixe.
La ligne d’influence est une représentation graphique de l’évolution de la sollicitation induite par l’action d’une charge mobile unitaire dans une section donnée de la poutre.
Elle est particulièrement utile pour identifier les sollicitations maximales, notamment dans les ouvrages d’art ou les poutres de roulement.
La poutre étudiée est continue sur 3 appuis, sa section transversale est constante et la portée L entre appuis est la même pour les deux travées.
Cette poutre est soumise à une charge mobile ponctuelle d’intensité Q. La charge est positionnée à une distance β L de l’appui de rive gauche.
La section dans laquelle est calculé le moment fléchissant induit par la charge ponctuelle est située à une distance α L de l’appui de rive gauche.
Dans le cas d’une charge mobile unique, la ligne d’influence du moment fléchissant sur l’appui central est la représentation graphique d’une fonction μ1(β) continue par morceaux, et définie sur l’intervalle [0 ; 2] représentant les deux travées de la poutre. Précisons que dans ce cas, le paramètre a est égal à 1.
L’expression analytique de cette fonction est la suivante :
Notons que μ1(β) n’a pas de dimension.
Pour obtenir le moment sur appui il convient de multiplier μ1(β) par Q L :
La ligne d’influence d’équation μ1(β) est représentée à la Figure 2.
La position β1 de la charge ponctuelle qui génère le plus fort moment fléchissant sur l’appui central est aussi celle qui est associée au maximum (en valeur absolue) de la fonction μ1 entre 0 et 1. Ce maximum est atteint lorsque :
β1 = 0,577
Dans le cas d’une charge mobile unique, la ligne d’influence du moment fléchissant d’une section quelconque située en travée est aussi la représentation graphique d’une fonction μ1 continue par morceaux, et définie sur l’intervalle [0; 2] représentant les deux travées de la poutre.
L’expression analytique de cette fonction, valable pour α < 1, est la suivante :
Cette ligne d’influence est représentée à la Figure 3, en plaçant la section de calcul au milieu de la première travée.
Recherche de la position la plus défavorable
Le moment fléchissant induit par une charge mobile unique dans une section de calcul située en travée est maximal lorsque la charge se trouve au droit de cette section. Il est donc pertinent dans le cadre de la recherche de la position qui induit le moment fléchissant en travée le plus important, de s’intéresser au cas particulier de la fonctions μ1 où α = β.
La position β1, de la charge ponctuelle qui génère le plus fort moment fléchissant dans la travée est aussi celle qui est associée au maximum de la fonction μ1 entre 0 et 1. Ce maximum est atteint lorsque :
β1 = 0,432
En résumé, les deux positions de la charge ponctuelle qui induisent les moments fléchissant maximum en travée et sur appui central sont respectivement 0,432 L et 0,577 L.
Romain Palacios – chef de projet recherche – CTICM