Analyse plastique d’une poutre continue sur 3 appuis

L’analyse des structures en acier est généralement réalisée en supposant un comportement élastique du matériau (analyse élastique). A l’issue de cette analyse, il est possible de se référer, pour les vérifications, soit à la résistance élastique, soit à la résistance plastique en fonction de la classe des sections.

Cependant, il est également possible de tirer profit du calcul des efforts selon un modèle plastique (analyse plastique). Pour cela, il y a généralement lieu de recourir à un logiciel qui permet ce type d’analyse. Pour certains cas simples, il est toutefois possible de réaliser cette analyse plastique par une succession de deux analyses élastiques. Cet article en présente un exemple d’application pour une poutre continue sur trois appuis.

Introduction

Cet article décrit, à travers un exemple concret, une méthode simple pour l’analyse plastique d’une poutre continue à deux travées égales, soumise à des charges uniformément réparties. Cependant le principe de ce calcul est applicable à des poutres continues à plus de deux travées, avec différents types de charges, dès lors que la poutre n’est sollicitée qu’en flexion simple et qu’elle ne présente pas de risque de déversement.

Dans cet article, tous les calculs sont effectués conformément aux règles de la norme NF EN 1993-1-1 [1] et son Annexe Nationale [2].

Données de l’exemple

La poutre étudiée est un profilé laminé à chaud, IPE 180, en acier S275. Elle porte sur trois appuis simples distants de 5,80 m (voir Figure 1). Il est supposé que la poutre est parfaitement maintenue vis-à-vis du déversement.

Les charges appliquées sont :

• Charges permanentes :        G = 4,0 kN/m
• Charges variables :              Q = 5,0 kN/m

Les propriétés suivantes de la section transversale du profilé IPE 180 sont utilisées dans cet article :

Tous les profilés laminés IPE en acier S275 sont de Classe 1 lorsqu’ils sont sollicités en flexion simple (voir référence [3]).

Calcul vis-à-vis des états limites ultimes (ELU)

Nous n’étudions ici que la combinaison d’actions (ELU), selon la norme NF EN 1990 :

1,35 G + 1,50 Q, soit 12,9 kN/m.

Le calcul élastique de la poutre conduit aux diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant représentés à la Figure 2.

Selon la norme NF EN 1993-1-1, 6.2.5, la résistance plastique en flexion simple de la section IPE 180 en acier S275 est :

On constate que, sur l’appui intermédiaire, le moment de flexion dépasse le moment de résistance plastique. L’écart est :

La section étant de classe 1, il est possible de former une rotule plastique dans la section la plus sollicitée. Dans cette section, le moment plastique ne peut pas être dépassé. Lorsqu’il est atteint, la section se comporte comme une articulation sous l’effet de l’accroissement du chargement appliqué à la poutre. Les travées adjacentes à l’appui intermédiaire vont reprendre cet accroissement de chargement comme si chacune était une poutre sur 2 appuis simples. Pour le calcul, cela revient à ajouter les diagrammes de la Figure 3 à ceux de la Figure 2, pour le moment fléchissant et l’effort tranchant.

Sous le chargement appliqué, les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant qui résultent de la redistribution plastique sont représentés à la Figure 4. Sur l’appui intermédiaire, le moment de flexion est précisément égal au moment plastique de la section. En travée, le moment de flexion a augmenté. La position de la section de moment positif maximal est légèrement déplacée par rapport au diagramme de la Figure 2.

A la suite de ce calcul, il convient de vérifier que le moment fléchissant maximal en travée ne dépasse pas le moment plastique. En effet, on vérifie :

Note :  lorsqu’une seule travée est soumise à la charge variable dans la combinaison ELU, il est aisé de montrer que la résistance plastique en flexion n’est atteinte dans aucune section le long de la poutre. Il n’est donc pas nécessaire dans ce cas de réaliser une redistribution plastique.

Vérification de la résistance à l’effort tranchant

L’effort tranchant maximal doit être déterminé sous le chargement de calcul après redistribution plastique. On obtient de part et d’autre de l’appui intermédiaire :

Il est à comparer à la résistance plastique à l’effort tranchant de la section (NF EN 1993-1-1, 6.2.6) :

Par conséquent, il n’y a pas lieu de réduire la résistance au moment fléchissant pour tenir compte de l’effort tranchant (NF EN 1993-1-1, 6.2.8).

Calculs vis-à-vis des états limites de service (ELS)

La redistribution plastique ne présente pas d’intérêt si la poutre est dimensionnée par les conditions d’états limites de service. C’est pourquoi nous calculons ici les flèches maximales pour l’exemple traité.

Pour les valeurs limites de flèche, on peut se réfèrer à l’Annexe Nationale de la NF EN 1993-1-1 [2].

Les flèches sont calculées sous la combinaison ELS : 1,0 G + 1,0 Q, soit 9,0 kN/m.

Sous cette combinaison, en considérant que toute la poutre est soumise à la charge permanente G et que seule la première travée est soumise à la charge variable Q (situation la plus défavorable), la flèche maximale est :

Sous la seule charge variable Q, la flèche est :

Sous les chargements pour les calculs vis-à-vis des états limites de service, il est facile de montrer que la résistance plastique n’est pas atteinte.

Conclusion

Cet exemple permet d’illustrer les avantages d’une redistribution plastique du moment fléchissant pour une poutre continue :

• L’analyse plastique de la poutre est réalisée à l’aide d’une succession de deux analyses élastiques;
• Sans le bénéfice de la redistribution plastique, il serait nécessaire de passer d’un profil IPE 180 à un profil IPE 200. L’analyse plastique permet donc un gain de poids de près de 16%.
• Vis-à-vis de l’état limite ultime de résistance en flexion, la poutre présente encore une réserve de résistance significative puisque la résistance plastique en flexion n’est pas atteinte en travée;
• Conformément à la norme NF EN 1993-1-1, 5.4.1(4)B, cette méthode peut également être appliquée à une poutre avec des sections de classe 2 sous réserve que la redistribution plastique ne dépasse pas 15% du moment de résistance plastique. Aucune limite n’est imposée pour les sections de classe 1 qui sont considérées comme disposant d’une capacité de rotation plastique suffisante.

Il convient de rappeler que la poutre est maintenue vis-à-vis du déversement sur toute sa longueur.

Références bibliographiques

[1]      NF EN 1993-1-1 : Eurocode 3 – Calcul des structures en acier. Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. AFNOR. Octobre 2005.

[2]      NF EN 1993-1-1/NA : Eurocode 3 – Calcul des structures en acier. Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. Annexe nationale à la NF EN 1993-1-1. AFNOR. Mai 2007.

[3]      Bureau, A., Classification des sections selon l’Eurocode 3 Tableaux de classement des profilés laminés en I. Revue construction métallique 4-2005. CTICM.

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Alain Bureau, chef du service recherche construction métallique, CTICM