Méthode de Rayleigh pour le calcul d’une période propre – Partie 1 : Principes

La période propre d’un bâtiment constitue un paramètre essentiel du dimensionnement parasismique. Alors que les logiciels de calcul aux éléments finis permettent aujourd’hui de l’obtenir de manière rapide et fiable, certaines situations – comme les études préliminaires ou les méthodes simplifiées – nécessitent une estimation sans modélisation complexe.

Dans ce contexte, la méthode de Rayleigh se révèle être un outil analytique simple et puissant, particulièrement utile pour les structures à plusieurs étages. Cette première partie présente les principes de la méthode.

Généralités

La théorie de la dynamique des structures permet de montrer que la période du mode propre d’un bâtiment dont la déformée est connue peut être calculée à l’aide de la formule générale suivante :

Cette formule est valable dans la mesure où il est possible de supposer que la masse du bâtiment est concentrée au droit des planchers. En pratique, cette hypothèse correspond très bien aux bâtiments multi-étagés à ossature métallique et planchers en béton armé, lesquels présentent une masse concentrée importante, sur la hauteur de la structure.

Dans le contexte d’une application de la NF EN 1998-1 [1], un mode propre est caractérisé par sa période.

Le principe de la méthode de Rayleigh consiste à faire une hypothèse sur la déformée modale de la structure, et plus exactement à supposer que la déformée modale est identique à la déformée du bâtiment dans un champ d’accélération horizontal uniforme. La formule précédente peut alors être réécrite de la manière suivante :

où :       u_iest la déformée du bâtiment dans le champ d’accélération horizontal uniforme a_u, pour le niveau i (Figure 1).

Il est possible d’utiliser g comme accélération horizontale uniforme.

Une attention particulière doit être portée aux unités pour l’application des formules (1) et (2). Afin d’obtenir une période propre en secondes, il convient d’utiliser les unités suivantes pour les autres paramètres des formules :

• masse m_i en kilogrammes ;
• raideur k_i en Newtons par mètre ;
• déformée u_i en mètres ;
• accélération a_u en Newtons par seconde carré.

La clause 4.3.3.2.2 (5) de la NF EN 1998-1 propose une version simplifiée de cette méthode. En négligeant l’influence des niveaux intermédiaires, en ne considérant donc que celle du dernier niveau, et en supposant que l’accélération a_u est égale à celle de la gravité g, on obtient :

où  est le déplacement élastique horizontal (en mètres) du dernier niveau dû aux charges gravitaires horizontales.

La formule (3) repose sur la simplification suivante : .

Références

[1] NF EN 1998–1 : Eurocode 8 – Eurocode 8 – Calcul des structures pour leur résistance aux séismes – Partie 1 : règles générales, actions sismiques et règles pour les bâtiments – AFNOR – Septembre 2005

Télécharger le document

Pierre-Olivier Martin, chef du service DAL, CTICM