Méthode de Rayleigh pour le calcul d’une période propre – Partie 2 : Exemple d’application

La période propre d’un bâtiment constitue un paramètre essentiel du dimensionnement parasismique. Alors que les logiciels de calcul aux éléments finis permettent aujourd’hui de l’obtenir de manière rapide et fiable, certaines situations – comme les études préliminaires ou les méthodes simplifiées – nécessitent une estimation sans modélisation complexe.

Dans ce contexte, la méthode de Rayleigh se révèle être un outil analytique simple et puissant, particulièrement utile pour les structures à plusieurs étages. La première partie présente les principes de la méthode, tandis que cette seconde partie propose un exemple d’application.

Exemple d’application

Description du bâtiment

On considère un bâtiment en R+5 (Figure 1), comprenant donc 6 niveaux (5 planchers et 1 toiture). La hauteur de chaque étage est h = 3,4 m. La longueur du bâtiment est de 30 m et sa largeur de 14 m. Dans la direction longitudinale, chaque file comprend 5 travées de portée
 L_t = 6 m. Les masses sismiques prises en compte dans le modèle de calcul, intégrant les masses permanentes et une fraction des masses d’exploitation, conformément à la clause 3.2.4 (2) de la NF EN 1998-1:2005, sont les suivantes :

• m_i = 271 200 kg pour les niveaux de plancher ;
• m_i = 136 500 kg pour le niveau de toiture.

Le contreventement est assuré par deux travées triangulées dans le plan de chaque long pan. Les diagonales sont constituées par des barres à section creuse circulaire, dont les propriétés sont les suivantes :

• pour les 4 premiers niveaux :

diamètre :        219,1 mm

épaisseur :       12,5 mm

aire :                8 113 mm²

• pour les 2 derniers niveaux :

diamètre :        193,7 mm

épaisseur :       8,0 mm

aire :                4 667 mm²

On notera que les diagonales sont dimensionnées pour fonctionner aussi bien en traction qu’en compression.

Calcul des déplacements latéraux du bâtiment sous une charge gravitaire horizontale

Le calcul des déplacements de chaque niveau sous charges gravitaires horizontales est effectué à l’aide d’une analyse par éléments finis. Le modèle correspondant est présenté sur la Figure 2. Dans ce modèle, les masses du bâtiment ont été concentrées au droit des planchers et de la toiture. Les résultats obtenus sont présentés dans le Tableau 1.

Calcul approché de la période propre

Le traitement des résultats est effectué dans le Tableau 2. L’application de la formule (2) de la première partie permet d’obtenir le résultat suivant :

Le résultat d’une analyse modale effectuée par éléments finis donne une période propre de 0,58 s (Figure 3).

Références

[1] NF EN 1998–1 : Eurocode 8 – Eurocode 8 – Calcul des structures pour leur résistance aux séismes – Partie 1 : règles générales, actions sismiques et règles pour les bâtiments – AFNOR – Septembre 2005

[2] MARTIN, P-O., Méthode de Rayleigh pour le calcul d’une période propre – Partie 1 : Principes – Fiche Métaletech, avril2026

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Pierre-Olivier Martin, chef du service DAL, CTICM – Calculs éléments finis : Tien Minh Nguyen, chef de projets recherche, CTICM – Juin 2026